Được khen ;-)

Được khen kể cũng thích nhỉ…

MR2781029
Ben Belgacem, Faker(F-COMP); Du, Duc Thang(F-COMP-AML); Jelassi, Faten(F-COMP-AML)
Extended-domain-Lavrentiev’s regularization for the Cauchy problem. (English summary)
Inverse Problems 27 (2011), no. 4, 045005, 27 pp.
65N20 (35J05 35R25 65J20)

PDF Clipboard Journal Article Make Link

 

This is an interesting work in the area of regularization techniques for the ill-posed Cauchy problem for the Laplace equation. The authors show how the variational formulation proposed in [F. Ben Belgacem and H. El Fekih, Inverse Problems 21 (2005), no. 6, 1915--1936; MR2183659 (2008f:35069)] allows for a meaningful interpretation of the general source condition, which is currently used in the analysis of ill-posed problems. This assumption turns out to be closely connected to the possibility of the exact Cauchy solution being harmonically extended to a larger domain. Then, the authors use the consolidation of the Lavrentʹev method for the extension of the computational domain. The numerical investigation section is a nice section, where the authors pay particular attention to the approximation of the data completion problem formulated in thin domains which are of general shape. Finally, one can say that this work presents an important improvement of the regularization capabilities and accuracy, especially for thin domains and when the data are substantially damaged by noise.

Reviewed by Nasser H. Sweilam

Bài toán Cauchy (phần 5)

Link phần trước.

Trong phần trước, chúng ta đã nói đến phương pháp Richardson hiệu chỉnh hoá bài toán (DC), bằng cách xây dựng một dãy nghiệm xấp xỉ tới nghiệm chính xác. Việc xây dựng nghiệm xấp xỉ này là hợp lý, vì nó đã được chứng minh nhờ thuật toán KMF (Kozlov-Maz’ya-Fomin – 1991). Sự tương đương của phương trình (lặp) của Richardson với phương trình (của) Landweber, cho ta thấy rằng với một lựa chọn hợp lý của tham số hiệu chỉnh, ở đây là chỉ số lặp , nghiệm xấp xỉ sẽ hội tụ về nghiệm chính xác với tốc độ tối ưu, mà ta gọi là “trên hội tụ” (super convergence). Vậy cụ thể nó là như thế nào?

Trước hết ta xét trường hợp các dữ kiện Cauchy là chính xác (tức là tương hợp, để nghiệm của bài toán Cauchy tồn tại, kéo theo sự tồn tại của nghiệm của phương trình SP. Ta gọi nó là . Khi đó ta có khẳng định thứ nhất.

Định lý 1: Dãy nghiệm sẽ hội tụ về nghiệm chính xác khi tiến ra vô cùng.

Để nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm, ta cần thêm giả thiết cho tính chính quy của nghiệm chính xác. Một giả thiết hay được sử dụng, nhưng khá trừu tượng và khó kiểm chứng, là điều kiện nguồn (General Source Condition – GSC). Một vector gọi là thoả mãn điều kiện nguồn ứng với toán tử nếu , tức là tồn tại vector sao cho . Với giả thiết (GSC) nói trên ta có khẳng định tiếp theo.

Định lý 2: (Bias estimate) Giả sử thoả mãn (GSC). Khi đó ước lượng sau là đúng

Nhận xét:

1. Khi nghiệm chính xác thoả mãn (GSC) thì ta chứng minh được dãy cũng thoả mãn (GSC).
2. Khi xét chuẩn yếu hơn, ứng với dạng song tuyến tính , ước lượng trên sẽ có dạng

 

Bây giờ ta xét trường hợp có nhiễu xuất hiện trong điều kiện Cauchy, tức là thay vì , ta có . Ở đây là mức sai số của dữ kiện Cauchy, tức là

Ký hiệu nghiệm xấp xỉ ứng với dữ kiện này là . Ta chứng minh được rằng với bất kỳ tiến về vô cùng, nghiệm này sẽ bùng nổ (blows-up), hiểu theo nghĩa dãy giá trị của chuẩn của nó sẽ phân kỳ. Tuy nhiên, sai khác của nó với nghiệm chính xác có thể được khống chế bởi ước lượng sau.

Định lý 3: (Variance estimate) Ước lượng sau là đúng.

 

Từ các định lý trên, ta đi đến kết quả sau.

Định lý 4: Giả sử thoả mãn (GSC). Khi đó với phép chọn , dãy nghiệm xấp xỉ sẽ hội tụ tới nghiệm chính xác theo tốc độ tối ưu

Ước lượng này là tối ưu tương tự như phương pháp hiệu chỉnh Landweber.

Trong bài viết tiếp theo, ta sẽ làm quen với phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev/Tikhonov.

Calculus 1 – Early Transcedentals

This is the Textbook for students of the Calculus 1 course. Hope that you’ll find it useful.

Calculus, Early Transcendentals – Stewart J. (6th edition)

You find at the Appendix E (pp. A-65) answers of odd number exercises.

If you have any questions, you may post it here, so that everyone can help you.

Best.

Bài toán Cauchy

*(Tiếp theo các phần trước.)

Bài toán Cauchy

(Tiếp theo hai phần trước, tất nhiên.)

 

Như ta đã biết, bài toán Cauchy của phương trình elliptic là bài toán đặt không chỉnh. Tính không chỉnh thể hiện ở chỗ nó có thể không có nghiệm, nghiệm có thể không duy nhất, và nghiệm nói chung là không phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu (điều kiện Cauchy). JH đã chỉ ra trong một ví dụ của mình (năm 1923) tính đặt không chỉnh cấp mũ của bài toán Cauchy trên miền hình vuông, với điều kiện Cauchy cho trên một phần biên. Năm 2007, tính đặt không chỉnh cấp mũ đã được FBB chứng minh (IP, 2007) cho miền tổng quát, dựa vào công thức biến phân được FBB và HEF đề xuất (IP, 2005).

Trở về thôi

Trở về thôi

Còn vài tuần nữa

Mọi thứ

Sẽ ở lại phía sau:

LMAC,

GI,

UTC,

Centre de Recherche,

Clos des Roses

và Compiègne, và Paris, và nước Pháp…

Những vui,

Những buồn,

Những thành công, và sự thất vọng,

Rồi cũng sẽ ở lại phía sau…

Trở về thôi…

 

Trở lại?

Cũng gần một năm kể từ entry cuối cùng. Lâu quá rồi thì phải. Mình đã mất thói quen viết blog, mất cả thói quen tìm và dán một cuốn sách nào đó lên đây, để bạn nào đó quan tâm muốn có thì có thể lấy được. Mình đã lười biếng rồi sao?

Gần một năm, cũng đã có những việc mình định làm thì đã làm xong, những chặng đường đã qua, nhiều chông gai nhưng cũng nhiều niềm vui. Niềm vui mới, vị thế mới. Mình cần phải tự làm mới mình…

Vậy thì còn chờ gì nữa? Trở lại chăng?

Hiện giờ, mình đang làm gì? Bắt tay vào các bài toán còn dang dở của luận án. Đọc và học về Carleman estimate, áp dụng cho bài toán của mình (elliptic Cauchy problem for data completion – Lavrentiev regularization method – extended domain approach); tiếp tục fully lavrentiev-finite-element regularization method for the Data completion problem. Và còn nhiều bài toán đang đợi mình.

Phải cố lên.

Dán tạm một bài báo của mình liên quan tới cái thứ nhất, vừa mới được đăng

0266-5611_27_4_045005

Cái gì cũng cần phải cố gắng. Mình cần phải cố gắng lên!!!

Ladyzenskaia O., Uralcieva N.N., EDPs de type elliptiques

Lâu rồi không dán cái gì lên trang này, vậy mà ngày nào cũng có bạn vào xem. Quả là điều không nên, bỏ bê một thứ gì đó thì cũng là phụ lòng một ai đó. Cũng mong những bạn thỉnh thoảng vào tham quan, lấy tài liệu bỏ quá cho, mong sao trong thời gian tới tôi sẽ có nhiều thời gian chăm chút cho trang tailieuhoctap hơn.

Tặng tạm cả nhà cuốn “EDPs de type elliptiques” của Ladyzenskaia O.A., Uralcieva .N.N., tuy nhiên bằng tiếng Pháp. Cuốn này hồi xưa mình tìm mãi mà chẳng thấy đâu có.

Link: Ladyzenskaia O.A., Uralcieva N.N., EDPs de type elliptiques

A mathematician

Link: http://news.harvard.edu/gazette/story/2010/01/mathematician-gains-dual-appointments/?sms_ss=facebook

=====

Mathematician gains dual appointments

Sophie Morel will join FAS, Radcliffe Institute

By Steve Bradt

Harvard Staff Writer

Thursday, January 14, 2010

Kris Snibbe/Harvard Staff Photographer

Sophie Morel, who works at the intersection of algebraic geometry, representation theory, and number theory, joins the Faculty of Arts and Sciences and the Radcliffe Institute for Advanced Study with dual appointments.

Mathematician Sophie Morel, who works at the intersection of algebraic geometry, representation theory, and number theory, has been named professor of mathematics in Harvard University’s Faculty of Arts and Sciences (FAS). She also has been appointed to the Radcliffe Alumnae Professorship at the University’s Radcliffe Institute for Advanced Study.

Morel was previously affiliated with the Institute for Advanced Study in Princeton, N.J., and the Clay Mathematics Institute in Cambridge, Mass., where she continues as a research fellow. The new appointments took effect Dec. 15.

“Sophie Morel is among the world’s most promising young mathematicians working in number theory, algebraic geometry, and representation theory,” said Jeremy Bloxham, dean of science in FAS. “Her doctoral thesis was extremely demanding and stunningly original, solving a problem that had been intractable for more than 20 years.”

“Sophie Morel will enrich the Radcliffe Institute and FAS communities, and Harvard more broadly, with her groundbreaking research and discoveries in mathematics,” said Radcliffe Institute Dean Barbara J. Grosz. “We are grateful to Radcliffe alumnae for enabling the recruitment of a distinguished scholar who embodies Radcliffe’s longstanding traditions of excellence and achievement.”

Morel’s work focuses at the heart of the Langlands problem, an area of number theory and representation theory that has seen dramatic progress over the past few decades.

Morel holds degrees from Université Paris-Sud, which awarded her a Ph.D. in 2005. From 2005 to 2009 she was a member of the Institute for Advanced Study and a research fellow at the Clay Mathematics Institute, an affiliation she will maintain until 2011.

Professorships at the Radcliffe Institute are designed to bring a succession of eminent individuals to the institute and to attract outstanding faculty to tenured Harvard positions. The Radcliffe Alumnae Professorship, endowed by alumnae and friends of Radcliffe, was established so that new tenured FAS professors could spend four semesters at the institute during their first five years at the University. As the second Radcliffe Alumnae Professor, Morel will work among the institute’s community of fellows.

Debnath L., Nonlinear PDEs for Scientists and Engineers (2nd Edt.)

Cuốn sách
Debnath L., Nonlinear PDEs for Scientists and Engineers
đã được tái bản (2005).
http://www.4shared.com/file/229436122/90ec4bb/Debnath_L_Nonlinear_PDEs_for_S.html

Xin mời.