Bài toán Cauchy của phương trình elliptic – 2

(Tiếp theo phần 1)

Như vậy ta đã chuyển được việc tìm nghiệm bài toán Cauchy của phương trình elliptic về các bài toán biên với điều kiện biên Dirichlet và Neumann, từ đó đưa đến bài toán tìm . Trong Toán ứng dụng, Bài toán Cauchy trừu tượng kiểu này được áp dụng khá nhiều, vì nó mô tả hiện tượng thực tiễn với đầu vào là những khảo sát ban đầu trên một vùng biên có thể tiếp cận được, ví dụ: Một phần biên của lò phản ứng hạt nhân, một phần đáy của dòng sông, vỏ não của con người (chụp cắt lớp) và vân vân, vân vân. Người ta có thể nghiên cứu bài toán Cauchy bằng cả lý thuyết và tính toán, định tính và định lượng. Ở đây chúng ta đề cập tới khía cạnh định lượng của nó, và cụ thể là các phương pháp hiệu chỉnh để đặt chỉnh hoá bài toán Cauchy, bằng phương pháp của Tikhonov, Lavrentiev,… Vậy phương pháp hiệu chỉnh là gì?

Phương pháp hiệu chỉnh: Nói một cách tổng quát nhất, phương pháp hiệu chỉnh là phương pháp, bằng một cách nào đó, đưa ra một dãy nghiệm xấp xỉ tốt nhất tới nghiệm của một phương trình (toán tử) dạng  khi dữ kiện ở vế phải không được biết, mà thay vào đó ta chỉ biết nhiễu của nó, tức là , với $\|\delta\|\leq\varepsilon$ nào đó, có nghĩa là tìm một dãy hoặc hội tụ (theo một nghĩa nào đó) về nghiệm chính xác , với thoả mãn phương trình . Thông thường toán tử là compact, nên nếu có tồn tại nghịch đảo thì nghịch đảo của nó cũng là không bị chặn, và do đó bài toán ta nghiên cứu sẽ là đặt không chỉnh, cũng vì điều đó nên đừng nghĩ đến chuyện xấp xỉ bởi (hoặc tổng quát hơn là giả nghịch đảo Moore Penrose ) nhé. Việc tiếp theo cần làm là ta nêu ra tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ nêu trên. Khi tham số hiệu chỉnh  không phụ thuộc và mà chỉ phụ thuộc vào thì ta gọi là tham số hiệu chỉnh tiên nghiệm (a-priori), còn ngược lại thì ta gọi là tham số hiệu chỉnh hậu nghiệm (a-posteriori). Cái đầu tiên cho ta biết tốc độ hội tụ lý thuyết của dãy nghiệm xấp xỉ, còn cái thứ hai cho ta biết thời điểm dừng “tối ưu” của dãy xấp xỉ trong thực tiễn. Người đầu tiên đề xuất các khái niệm hiệu chỉnh bài toán, chỉnh hoá bài toán là A. Tikhonov, một nhà toán học nổi tiếng người Nga. Chính các công trình của ông đã đem lại cho lý thuyết bài toán đặt không chỉnh sức sống mới, đem nó gần với thực tế hơn, mô tả được thế giới thực.

La journée scientifique du LMAC, GI, UTC

Hàng năm, LMAC (Bộ môn Toán ứng dụng, Khoa CNTT, ĐH Công nghệ Compiegne) tổ chức một ngày Khoa học, mời các nhà khoa học có cùng hướng nghiên cứu ở một số trường đại học, viện nghiên cứu trên nước Pháp đến trình bày, gần như một kiểu Hội nghị Khoa học Khoa Toán nhà mình, tất nhiên là quy mô bé hơn nhiều. Kể cũng là đáng cố gắng, vì LMAC có trên dưới 20 người, từ Giáo sư (Prof. de l’Université), Phó Giáo sư (Maître de Conférence – cái này báo chí và các nhà khoa học nhà mình tranh cãi ỏm tỏi là phó giáo sư hay trợ lý giáo sư, cá nhân tớ không quan tâm, vì hệ thống học hàm ở Pháp nó khác ở nơi khác ), ATER (trợ giảng) và NCS, vậy mà hàng năm đều đặn tổ chức, cũng chứng tỏ thêm một điều là LMAC khá nổi tiếng trong lĩnh vực toán ứng dụng ở Pháp, vì các nhà toán học làm việc ở đây, theo tớ nghĩ, là những chuyên gia trong lĩnh vực của họ. Năm nay LMAC mời được 4 nhà toán học, ba người làm về bài toán ngược và một người làm về thống kê ứng dụng; một người ở Université de Nice (Jaques Blum), hai người ở Université Paris Sud Orsay và một người ở Institute d’Emile Cartan. Chủ đề trình bày khá rộng, mỗi người trình bày trong khoảng 1 tiếng, và trao đổi khoảng 10 phút. Nhìn chung là giống như một conference nhỏ, hoặc một seminar liên trường, liên cơ quan hay được Khoa Toán nhà mình tổ chức.

Sắp tới ở LMAC có một hội nghị về Xác suất ứng dụng, có khá nhiều nhà toán học trong và ngoài nước Pháp tham gia. Tiếc là anh em Khoa Toán mình không có cơ hội dự.

Mùa hè đang đến ở Compiègne. Sáng dậy nghe chim hót líu lo, vui ơi là vui. Lại còn Euro nữa chứ. Vậy mà còn một đống việc phải làm. Ô la vie…